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問題文
↓
T：翻訳
↓
P：射影
↓
E：標準形化
↓
L：ライブラリ呼び出し
↓
V：検証
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これを毎回やる。
つまり、数学を解く時に、
「この問題、何の解法だ？」
から入らない。
必ず、
「この問題は、何が動いて、何が固定されていて、何に落とせるか？」
から入る。
以下、実装手順。
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▼：1 T＝翻訳 問題文を「部品」に分解する
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まず問題文を見たら、余白にこう書く。
対象：
変数：
定数：
条件：
求めるもの：
量化：
範囲：
たとえば、
「実数 x, y が x + y = 1 を満たすとき、x^2 + y^2 の最小値を求めよ」
なら、
対象：実数 x,y
変数：x,y
定数：1
条件：x+y=1
求めるもの：x^2+y^2 の最小値
量化：条件を満たすすべての x,y の中で
範囲：実数
ここではまだ解かない。
この段階でやるのは、
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文章を数学の骨格にする
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こと。
これをしないと、いきなり「相加相乗かな？微分かな？」とライブラリ探しになる。
それが青チャ型。
NN型では、まず入力を構造化する。
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▼：2 P＝射影 自由度を落とす
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次に必ず見る。
見た目の変数はいくつか？
条件はいくつか？
実質自由度はいくつか？
固定されている量は何か？
動く量は何か？
さっきの例なら、
見た目：2変数 x,y
条件：x+y=1
実質自由度：1
固定量：x+y
動く量：x-y または x
ここで見える。
これは「2変数問題」ではない。
実質は1変数問題。
だから、
y = 1 – x
として一変数化してよい。
または、対称性を見るなら、
x^2+y^2 = (x+y)^2 – 2xy = 1 – 2xy
として、xy を最大化すればよい。
つまり、Pの目的は、
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問題を小さくすること
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
である。
数学が苦手な人は、ここを飛ばして、解法を探す。
数学が強い人は、まず問題を小さくする。
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▼：3 E＝標準形化 解法が効く形に変える
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次に、
「この問題はどの標準形に落とせるか？」
を見る。
標準形は、そんなに多くない。
最大最小
解の個数
存在証明
恒等式証明
不等式証明
整数の有限探索
図形の距離・角度・面積
確率の状態遷移
数列の漸化式
関数の単調性
さっきの例は、
x^2+y^2 の最小値
だから、標準形は、
最大最小
さらに、
2変数 → 1変数
に落ちるから、
一変数二次関数の最小値
になる。
ここまで来て、初めてライブラリを呼ぶ。
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▼：4 L＝ライブラリ呼び出し
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標準形に落ちたら、青チャ・フォーカスゴールド的な技術を使う。
さっきなら、
y = 1 – x
x^2 + y^2
= x^2 + (1-x)^2
= 2x^2 – 2x + 1
= 2(x-1/2)^2 + 1/2
よって最小値は、
1/2
これは平方完成ライブラリ。
大事なのは、最初から平方完成を選んだのではないこと。
流れは、
2変数に見える
↓
条件 x+y=1 がある
↓
実質1自由度
↓
最大最小問題
↓
一変数二次関数
↓
平方完成
である。
これがNN型。
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▼：5 V＝検証 逆流する
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最後に戻す。
x = 1/2
y = 1/2
このとき、
x+y=1
を満たす。
だから最小値 1/2 は成立。
ここまでで終了。
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では、実際にどう訓練するか
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やることは単純。
青チャや過去問を解く時に、解答を見る前に、毎回このテンプレを埋める。
【T：翻訳】
対象：
変数：
定数：
条件：
求めるもの：
量化：
範囲：
【P：射影】
見た目の変数：
条件の数：
実質自由度：
固定量：
動く量：
消せる変数：
注目すべき量：
【E：標準形化】
この問題は何に落ちるか：
候補1：
候補2：
一番自然な標準形：
【L：ライブラリ】
呼ぶ技術：
使う理由：
【V：検証】
同値性が壊れた箇所：
条件確認：
答えの戻し：
これを1問ずつやる。
最初は遅い。
でも30問やると、かなり見え方が変わる。
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▼：具体例 整数問題ならこう見る
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たとえば、
自然数 x,y について x^2 – y^2 = 15 を満たす組を求めよ
青チャ型なら、
「平方差だから因数分解」
で終わる。
NN型ならこう。
【T】
対象：自然数 x,y
変数：x,y
条件：x^2-y^2=15
求めるもの：組 (x,y)
範囲：自然数
【P】
見た目：2変数
条件：1本
実質自由度：1
ただし自然数なので離散
固定量：差の平方が15
動く量：x,y
【E】
x^2-y^2 = (x-y)(x+y)
積が15の自然数ペアに落ちる
つまり、2変数方程式 → 因数ペアの有限探索
【L】
因数分解
約数列挙
【V】
x-y と x+y の偶奇一致を確認
実行すると、
(x-y)(x+y)=15
15の正の因数ペアは、
1×15
3×5
それぞれ、
x-y=1, x+y=15
→ x=8, y=7
x-y=3, x+y=5
→ x=4, y=1
答えは、
(8,7), (4,1)
ここでの本質は、
整数2変数
↓
因数分解
↓
積の形
↓
約数の有限探索
である。
つまり「因数分解を覚えていた」ではなく、
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
無限に見える整数探索を、有限個の約数探索に落とした
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
という理解になる。
これがNN型。
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▼：不等式ならこう見る
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たとえば、
x > 0 のとき、x + 1/x >= 2 を示せ
青チャ型なら、
「相加相乗」
で終わる。
NN型ならこう。
【T】
対象：正の実数 x
変数：x
条件：x>0
求めるもの：x+1/x >= 2
量化：すべての x>0
【P】
見た目：1変数
固定量：xと1/xの積が1
動く量：x
対称性：x と 1/x が入れ替わる
中心：x=1
【E】
不等式証明
↓
左辺-右辺 >= 0 に変換
または積一定の和の最小化
【L】
相加相乗
または平方完成
【V】
等号成立 x=1
条件 x>0 なので相加相乗使用可
つまり、
x + 1/x >= 2
は、単に「相加相乗パターン」ではない。
本質は、
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
積が固定された2量の和は、均等なとき最小になる
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
である。
だから x と 1/x の積が 1 で固定されていると見る。
ここまで見えてから、相加相乗を呼ぶ。
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▼：図形ならこう見る
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図形問題では、まずこれ。
点が動くのか？
線が動くのか？
長さが固定か？
角度が固定か？
面積が固定か？
内積が固定か？
円周上か？
直線上か？
図形問題のNN型処理は、
図形
↓
固定量・可動量
↓
距離・角度・面積・内積のどれか
↓
座標 / ベクトル / 三角比 / 相似
↓
計算可能な標準形
である。
「ベクトルを使うか、座標を使うか」ではなく、
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
何が固定されているかによって、表現を選ぶ
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
。
たとえば、
・距離固定 → 円、二乗距離、内積
・角度固定 → 内積、三角比、円周角
・平行 → ベクトル、傾き
・面積固定 → 外積、底辺×高さ、行列式
・重心 → ベクトル平均
・軌跡 → 変数消去
こうやって見る。
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▼：最初に作るべき「分類」はこれ
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単元別に分類しない。
操作別に分類する。
1. 自由度を落とす
2. 有限個にする
3. 保存量を見る
4. 対称性で変数を変える
5. 境界を見る
6. 単調性を見る
7. 最大最小に変換する
8. 解の個数に変換する
9. 構成する
10. 反例を探す
11. 同値変形する
12. 必要条件から絞る
13. 十分性を戻す
これがNN型の中間層。
青チャ的な単元分類は最後でいい。
整数
二次関数
微分
積分
ベクトル
確率
数列
複素数
はライブラリ側。
その前に、
何を小さくするのか
何を固定しているのか
何に変換するのか
を見る。
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▼：一番実用的な訓練法
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1問解いたら、解法ではなく、こう記録する。
この問題の本質：
入口：
中間変換：
標準形：
呼んだライブラリ：
同型問題：
例。
この問題の本質：
2変数に見えるが、x+y固定なので1自由度に落とす問題
入口：
x,y の条件付き最小化
中間変換：
y=1-x
標準形：
一変数二次関数の最小値
呼んだライブラリ：
平方完成
同型問題：
和が固定されたときの二乗和最小
平均からのズレの二乗
分散最小化
こうやって「解法」ではなく「変換」を保存する。
これを100問やる。
すると、脳内に青チャ的な例題辞書ではなく、
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表現変換辞書
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ができる。
これが本命。
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▼：毎問の問いはこれだけでいい
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問題を見たら、最初の30秒でこれを問う。
1. 何が変数か？
2. 何が固定されているか？
3. 実質自由度はいくつか？
4. 無限を有限にできるか？
5. 多変数を一変数にできるか？
6. 対称性はあるか？
7. 不変量はあるか？
8. 何の標準形に落ちるか？
9. どのライブラリが自然発火するか？
10. 戻しの検証はどこで必要か？
これを毎回やる。
「相加相乗かな？」
「微分かな？」
「合同式かな？」
から入らない。
それはライブラリ発想。
NN型は、
入力
↓
中間表現
↓
標準形
↓
ライブラリ
で行く。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
要するに
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やることはこれ。
青チャを読む
↓
解法を覚えるのではなく、各例題を T/P/E/L/V に分解する
↓
「どの変換で標準形に落ちたか」を抜き出す
↓
単元別ではなく、変換別に再分類する
↓
過去問で、その変換が初見でも発火するか試す
つまり、
青チャをそのまま覚えるのではない。
青チャを素材にして、
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自分用の「表現変換ネットワーク」を作る
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。
これが、NN型で数学をメタに捉え直す具体的なやり方。
mathman X アルゴリズム・オブ・シックスシグマ 〜東大理系入試すら打倒するチートフローチャート〜
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"make you feel, make you think."
SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。