結論から言うと――
ホモロジーが「穴の数」を数え始めた瞬間、数学は
「点・集合を基礎にしたブルバキ的世界観」から、
「構造と不変量を直接扱う世界」へと脱皮した
――この転換に理由があります。
以下、段階的に整理します。
1. ブルバキ的世界観の本質的限界
ブルバキ的数学は、極端に言えばこうです：
すべては集合であり、構造は集合の上に付加される
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位相空間：点集合 + 開集合族
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群：集合 + 演算
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多様体：点集合 + 局所構造
この世界観では、
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点が主役
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局所的定義が基本
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グローバルな性質は「点の集まりの性質」としてしか記述できない
しかし、位相的本質は点にない
例：
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ドーナツとマグカップは「穴が1つ」
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球と立方体は「穴が0」
ここで重要なのは：
「どの点があるか」ではなく
「全体として何が貫通しているか」
点をいくら眺めても、
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穴は見えない
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連結の仕方は見えない
2. 穴は「集合論的対象ではない」
穴とは何か？
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点の集合ではない
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部分集合として存在しない
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補集合を取っても現れない
穴は「不在」だが、構造としては確実に存在する。
これはブルバキ的世界観にとって致命的です。
集合論では
「存在するもの」しか定義できない
しかし位相幾何が捉えたいのは：
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存在しないが、消せないもの
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埋められない空隙
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変形しても残る欠陥
3. ホモロジーの革命性：点を捨てた
ホモロジーがやったことは極めてラディカルです。
点を直接扱わない
ホモロジーでは：
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点そのものは主役ではない
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鎖（chain）・境界（boundary）・サイクル（cycle） が主役
つまり：
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「点の集合」→ 無意味
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「閉じているが境界でないもの」→ 本質
穴 =
境界を持たないが、境界として表せないもの
これは集合論では一切表現できない概念です。
4. 「不変量」という新しい主役
ホモロジーが導入した思想はこれです：
対象そのものではなく
対象から計算される量が本質である
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形状 → ホモロジー群
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空間 → Betti数
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多様体 → Euler標数
ここで数学は初めて：
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対象から距離を取った
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表現から独立した
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座標も点も不要な世界に入った
これはブルバキ的集合主義からの決定的離脱です。
5. なぜ「解放」だったのか？
ブルバキ世界の檻
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定義は厳密だが、冗長
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局所からしか語れない
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グローバル構造は後付け
ホモロジー以後の世界
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グローバル性が一次情報
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局所定義は手段に格下げ
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「同じ穴を持つか？」が第一原理
これは
「数学を点から救い出した」
と言っていい。
6. 圏論・モダン数学への直結
この流れは必然的に次へ進みます：
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ホモロジー群は関手
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空間 → 圏
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構造 → 自然変換
ここで完全に：
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点：消滅
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集合：脇役
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不変量と射：主役
ブルバキの「集合の神話」は、
ここで静かに終わります。
7. 一文でまとめるなら
ホモロジーとは、
点や集合という“表現”を捨て、
変形しても消えない“意味”だけを
数えることに成功した最初の理論である。
だからこそそれは、
ブルバキ的世界観からの解放だったのです。
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"make you feel, make you think."
SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。