判別式とは何なのか！

それは、これもある種の解と係数の関係である！！！

 

さらにその発展の世界がある！

 

終結式のアイデア：共通の解を探せ

2つの方程式 $f(x)=0$ と $g(x)=0$ があるとします。

• 解の世界： $f$ の解を α1​,α2​,…、 $g$ の解を β1​,β2​,… とします。もし共通の解があれば、どこかで αi​=βj​になり、差は $0$ になります。

• 終結式の定義： すべての解のペアの「差」を掛け合わせたものです。

  （※実際には係数を掛けますが、本質はこの積です）

どこか1組でも共通の解があれば、この積は $0$ になります。これもまた「解の入れ替え」で値が変わらない（対称式）ので、係数だけで計算可能です。

---

2. なぜこれが「判別式」の親玉なのか？

ここが一番の驚きポイントです。

「方程式 $f(x)$ が重解を持つ」 ということは、「$f(x)$ とその微分 f′(x) が共通の解を持つ」 ということと同じです。 （※グラフで言うと、接点では関数も $0$ だし、傾きも $0$ だからです）

つまり、判別式とは「$f$ と f′ の終結式」のことなのです！

• 2次方程式なら、ax^2+bx+c と、その微分 $2ax+b$ の終結式を計算すると、おなじみの b2−4ac が出てきます。

• $n$ 次方程式でも、その微分と終結式をとれば、それが「$n$ 次方程式の判別式」になります。

---

3. 具体的にどうやって計算するのか？（シルベスター行列）

次数が上がっても計算を可能にするのが、係数を並べた巨大な行列、シルベスター行列です。

例えば f(x)=ax^2+bx+c と $g(x)=dx+e$ の終結式を知りたい場合、係数を以下のようにズラして並べた行列の「行列式（Determinant）」をとります。

この行列式が $0$ になれば、2つの方程式は共通の解を持ちます。この仕組みなら、どれだけ次数が大きくても、係数を並べて行列式を計算するだけで済みます。

---

4. 抽象的・一般的に捉えると

終結式の本当の凄さは、「変数 $x$ を消去（eliminate）できる」という点にあります。

• 方程式 $f(x)=0$ を解くのは大変です。

• でも、終結式を使えば、$x$ という変数を完全に消し去って、「係数たちが満たすべき関係性」だけを純粋に取り出すことができます。

これを現代数学では「消去理論」と呼びます。

逆数学的な視点での終結式 終結式の計算は、本質的には「ユークリッドの互除法」の多項式版です。逆数学において、多項式の最大公約数（GCD）が計算できることや、解の有無を判定できることは、理論の「決定可能性」に直結します。 終結式が存在するということは、「解を具体的に構成しなくても、解の存在（共通解や重解）を論理的に判定できる」という、数学的な「判定可能性」のレベルを一段引き上げていることになります。

＝＝＝

＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

   

"make you feel, make you think."

 

SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)

新たなるハイクラスエリート層はここから生まれる          




Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。） 

説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。