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チェインルール（Chain Rule／連鎖律）
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【基本形】
y = f(g(x))
このとき
dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)
別の書き方：
dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)
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【意味・直感】
チェインルールは
「変化の連鎖」を扱うルール。
x が変わる
→ g(x) がどれだけ変わるか
→ それによって f がどれだけ変わるか
この二段階の変化率を掛け合わせている。
変換を合成すると、変化率も合成される。
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【線形代数的理解】
写像の合成に対して
D(f ∘ g) = Df * Dg
ここで D は微分（ヤコビ行列）。
つまりチェインルールは
「合成写像の微分はヤコビ行列の積になる」
というだけの話。
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【多変数版】
z = f(x, y)
x = x(t), y = y(t)
dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
これは
dz/dt = grad f ・ (dx/dt, dy/dt)
つまり方向微分。
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【本質まとめ（チェインルール）】
・写像の合成の微分
・局所線形近似の合成
・ヤコビ行列の積
・方向微分の一般形
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2. ライプニッツルール（Leibniz Rule／積の微分）
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【基本形】
d/dx (u(x) v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
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【直感的導出】
(u + Δu)(v + Δv) – uv
= uΔv + vΔu + ΔuΔv
微分では ΔuΔv は二次の小ささなので無視。
残るのが
uΔv + vΔu
→ 微分すると
u’v + uv’
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【ライプニッツ的表記】
d(uv) = u dv + v du
微分を「線形な変化量」として扱う思想。
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【高階微分版】
d^n/dx^n (uv)
= Σ_{k=0}^n C(n,k) u^(k) v^(n-k)
これは完全に二項定理と同型。
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3. チェインルールとライプニッツルールの比較
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対象：
チェインルール → 合成
ライプニッツルール → 積
操作：
チェインルール → 掛け算
ライプニッツルール → 足し算
構造：
チェインルール → ヤコビ行列の積
ライプニッツルール → 分配法則＋線形性
高階：
チェインルール → Faà di Bruno 公式
ライプニッツルール → 二項係数
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4. 統一的な見方
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微分とは「一次近似を取り出す操作」。
・合成に対する一次近似 → チェインルール
・積に対する一次近似 → ライプニッツルール
この2つを同時に満たす線形作用素を
「微分（derivation）」と呼ぶ。
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5. 一言まとめ
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チェインルール：
「変換を重ねたら、変化率も掛け算で重なる」
ライプニッツルール：
「一緒に増えた分を一次まで足し合わせる」
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"make you feel, make you think."
SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。