問題文
↓
何を答えれば「解いた」ことになるのか？
↓
変数ごとの役割が決まる
↓
∀ / ∃ / 自由変数 / パラメータが決まる
↓
どの変数を残し、どの変数を消すべきか決まる
↓
初めて適切な数学操作を選べる

より正確には、

量化構造 → 変数の役割 → 消去すべき対象 → 必要な操作

要するにセンターピンは「量化記号」そのものではなく「自由変数と束縛変数の分離」です。

入試問題文を見たら、次の対応を自動化する。

日本語	論理形式
すべて	`∀`
任意の	`∀`
存在する	`∃`
少なくとも1つ	`∃`
存在しない	`¬∃` = `∀¬`
ただ1つ	`∃!`
AならばB	`A→B`
AかつB	`A∧B`
AまたはB	`A∨B`
必要十分	`↔`
最大値M	`∀x f(x)≤M ∧ ∃x f(x)=M`
最小値m	`∀x f(x)≥m ∧ ∃x f(x)=m`
方程式を解く	解集合を`↔`で完全決定
条件を求める	内側の変数を消去してパラメータ条件へ
軌跡	補助変数を`∃`消去
個数	`∃`＋相異性＋完全性

1. 「すべて示せ」

例：

「すべての実数xについて x^2+1>0 を示せ」

そのまま

∀x∈R, x^2+1>0

です。

一般形：

∀x∈D, C(x) → G(x)

したがって攻略方向は、

任意のxを固定して、CからGへ押す。

2. 「存在を示せ」

「f(x)=0となる実数xが存在することを示せ」

∃x∈R, f(x)=0

一般形：

∃x∈D, C(x) ∧ G(x)

ここでは∀問題とは戦略が逆になります。

∀では任意の対象を処理する必要がある。

∃なら一個作れば終わり。

だから、

∀ → 一般化・評価・恒等式

∃ → 構成・中間値・候補発見

という戦術差が量化記号から出てくる。

3. 「方程式を解け」

これも実は量化問題です。

例えば

x^2-3x+2=0 を解け

は単に値を出すのではなく、

S = {x∈R | x^2-3x+2=0}

を完全に決定せよ、ということ。

つまり答えを S={1,2} と主張するなら、

∀x∈R,

x^2-3x+2=0

↔

(x=1 ∨ x=2)

を証明している。

これは非常に重要です。

「解け」は実は↔を作る問題。

だから必要十分性・解の漏れ・余分な解が重要になる。

4. 「最大値を求めよ」

ここが量化記号の威力が最も分かりやすい。

f(x) の最大値がMとは、

① ∀x∈D, f(x)≤M

② ∃x∈D, f(x)=M

です。

つまり、

max = ∀ + ∃

なんです。

したがって最大値問題は本質的に、

上界を証明する

等号成立例を構成する

という2問題に自動分解される。

最小値なら逆。

∀x, f(x)≥m

∧

∃x, f(x)=m

ここから、

「不等式だけ証明して終わってはいけない」
「等号成立条件が必要」

という答案上の要求まで機械的に出てきます。

5. 「一意に存在」

これは、

∃!

ですが分解すると、

∃x P(x)

∧

∀x∀y ((P(x)∧P(y)) → x=y)

つまり、

存在

一意性

です。

高校数学なら、

「方程式がただ一つ実数解を持つ」

などはこれ。

だから、

解が少なくとも1個ある

2個以上は存在できない

に自動分解できる。

6. 「ちょうどn個存在」

これも完全に量化できます。

「実数解がちょうど2個」

なら、

∃x1,x2

[

x1≠x2

∧ P(x1)

∧ P(x2)

∧

∀x(P(x) → (x=x1 ∨ x=x2))

]

重要なのは最後。

「2個見つけた」だけでは足りない。

それ以外が存在しないまで必要。

グラフ・判別式・単調性が必要になる理由が、ここから生成されます。

7. 「条件を求めよ」

例えば、

「方程式 x^2+ax+1=0 が実数解を持つようなaの範囲を求めよ」

これは、

{a∈R | ∃x∈R, x^2+ax+1=0}

を求める問題。

つまり論理的には、

∃x

が内側にある。

欲しいのはaだけなので、

∃x [x^2+ax+1=0]

↓

aについての条件

へxを消去する。

これこそ量化記号消去です。

実際、

∃x∈R : x^2+ax+1=0

↔

a^2-4≥0

となる。

つまり判別式は突然出てくる謎テクニックではない。

「∃x」を消してaだけの命題にする道具

と理解できる。

これはかなり強い。

8. 「軌跡を求めよ」

これも同じです。

点P(x,y)がある条件を満たすとする。

求めたい軌跡Lは、

L = {(x,y) | ∃t C(x,y,t)}

のようなもの。

補助パラメータtを消去して、

G(x,y)=0

にする。

つまり軌跡問題も本質的には、

∃t

↓

量化消去

↓

x,yだけの条件

です。

9. 「証明せよ」

証明問題はほぼ、

C → G

です。

例えば、

「a+b=1ならば a^2+b^2≥1/2 を示せ」

∀a,b∈R,

a+b=1

→

a^2+b^2≥1/2

です。

そして対偶を使うとは単に、

C→G

↔

¬G→¬C

へ論理式をE変換しているだけ。

これも体系に自然に入る。

10. 整数問題

「整数x,yで方程式を満たすものを求めよ」

なら、

{(x,y)∈Z^2 | F(x,y)=0}

の決定。

実質的には、

∀x,y∈Z,

F(x,y)=0

↔

[(x,y)=候補1 ∨ 候補2 …]

を作る問題。

だから整数問題では、

無限集合Z^2を有限候補まで絞る

必要がある。

評価・因数分解・整除・modが出てくる理由もここから説明できる。

11. 確率だけ少し拡張が必要

確率は純粋な∀∃だけでは扱いにくいので、

P(A)

という測度演算子を追加する。

ただし、その内側は集合論・論理です。

例えば、

A = {ω∈Ω | 条件}

をまず定義して、

P(A)=|A|/|Ω|

などを求める。

つまり確率でも、

まず事象を述語として定義する

というところまでは同じです。

mathman X 　アルゴリズム・オブ・シックスシグマ　〜東大理系入試すら打倒するチートフローチャート〜

＝＝＝

＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

"make you feel, make you think."

SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)

新たなるハイクラスエリート層はここから生まれる

Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。）

説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。