ベクトルの定義は、ベクトル空間の元。

この広い・抽象度の高い定義を知っておくと、さらに高みの数学で便利になる。

結論

抽象ベクトル空間から始める方が“線形性の正体”を直接つかめるから。

行列から始めると、
線形代数＝計算科目
になりやすい。

抽象から始めると、
線形代数＝構造の学問
になる。

1️⃣ 行列スタートの問題点

普通の流れ：

連立方程式
行列
行列式
固有値

この流れだと、

「なぜこの操作をしているのか？」
が見えにくい。

学生はこうなる：

逆行列＝公式
固有値＝謎のλ
対角化＝作業

構造が見えない。

2️⃣ 抽象ベクトル空間スタートだと何が違う？

最初にこう定義する：

ベクトル空間とは、
加法とスカラー倍が定義され、8つの公理を満たす集合である。

ここで一気に世界が変わる。

なぜなら：

ベクトル＝矢印ではなくなる
行列＝本質ではなくなる
「線形性」が主役になる

3️⃣ 線形代数の本体は「線形写像」

抽象スタートだと自然にこうなる：

ベクトル空間 V
ベクトル空間 W

線形写像
T: V → W

そして定義：

T(ax + by) = aT(x) + bT(y)

これが全て。

行列は何か？

👉 ただの「基底を固定したときの表示」

つまり：

行列は本体ではない。

座標表現にすぎない。

4️⃣ 何が教育的に強いのか？

(A) 基底の意味が本質的に理解できる

基底とは？

「空間の座標系の選択」

行列スタートだと、
基底は後から出てくる。

抽象スタートだと、
基底は空間の骨格。

(B) 固有値の意味が自然になる

固有値とは何か？

T(v) = λv

「方向を保つ写像」

行列から始めると：
(A−λI)v=0 の計算

抽象から始めると：
「不変部分空間」の話になる。

この差はデカい。

(C) 次元の意味が分かる

次元とは：

「基底の個数」

つまり：

多項式空間
関数空間
行列空間

全部同じ構造だと分かる。

線形代数＝変数×定数倍の世界

これが完全に抽象化される。

5️⃣ なぜ理系には特に向いているのか

理系はその後：

量子力学
フーリエ解析
関数解析
機械学習
制御理論

に進む。

そこで扱うのは：

有限次元ベクトル空間ではない。

関数空間。

ヒルベルト空間。

ノルム空間。

つまり、

最初から抽象で理解していると
そのまま拡張できる。

6️⃣ 行列スタートの利点もある

もちろん：

計算力がつく
直感がつきやすい
工学的には便利

だから実用系学部では行列スタートが多い。

7️⃣ 本質的な理由（超重要）

行列から始めると：

対象（matrix）を見る

抽象から始めると：

構造（structure）を見る

線形代数の本質は
「構造保存」

つまり：

加法を保つ
スカラー倍を保つ

という保存則の学問。

あなたがよく言う「保存構造」そのもの。

8️⃣ 数学的に言うと

線形代数は実は

圏論的に最も美しい理論の一つ

対象：ベクトル空間
射：線形写像

この構造が綺麗すぎる。

行列はその一表現。

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＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

"make you feel, make you think."

SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)

新たなるハイクラスエリート層はここから生まれる

Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。）

説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。