このコンテンツは 数と構造 より引用しております。
私は、予測のプロとして活動しているが、予測をする際に、
「どの方向に向くか全くわからない」
というケースがある。
例えば、株式のチャートなんかは、上か下しか向かない。
一方で、ビジネスであれば、方向性がぐるぐる回ることがある。
今日の正解が明日の正解とは限らない。
この際、
「方向性はある程度諦めて、せめて、その変化の大きさぐらいは評価できないか」
というスタンスを取ることがある。
また、人生やキャリアについて考えるときも、
「この先、安全な方向性はわからないから、せめてこのくらいの振り幅があるということくらいは事前に予見できないか」
というケースがある。
大体、世の中で難しい問題は、
・線形だが方向性があちこちいく問題
・非線形問題
・確率問題
と相場が決まっている。
林修が、
「努力は正しい方向に向かって、適切な量なされないといけない」
と言ったらしく、彼の普段の発想法から言ってベクトルが意識された発言だと思うが、私はそれに付け加えたいことがある。
「方向がわからないことの方が世の中は多い」
「そして方向がわからなくても、正しい努力をする方法が必要だ」
これが理解できるのが「４の魔力」である。
余談だが、もし、大学で線形代数に触れたことがあって、行列式で苦戦したことがある人がいるなら、かなり救われる話をしようと思う。
ベクトルというものがある。
座標もベクトルも、その定義上、表現に「２つの数字」を必要とする。
なぜなら、2次元空間だからだ。
x軸とy軸がいる。
一次元であれば
「座標」
「ベクトル」
の話になんかならない。
そして、行列とは何かというと、あるベクトルが、あるベクトルに変換されるような操作のことである。
だから私は、行列は
「４の世界」
だと思っている。
ベクトルや座標は、
「２の世界」
である。指定に数字を２つ使うからだ。
そしてその「２の世界」のオブジェクトを、あるオブジェクトに移す・変換するというのが行列変換だ。
行列は４の世界である。実際、行列の基本形は「２×２（２行２列）」のアレである。
混乱しないでほしい。
これは当たり前の話で、
一次元＝数直線の世界は、「１つの数字」だけで事足りて、
二次元の世界には「２つの数字」が必要になる。
だから座標・ベクトルは２つの数字の世界だが、
このベクトルを
「移動させる・変換させる」
ということを考えた場合、
どうしても数字は
「４つ必要」
になる。
移動元の指定と、移動先の指定が要るからだ。
なぜ４つ必要か？
あるベクトルを表現する二つの数字があって、このベクトルの変化をもう一つの数字を使って表す場合、それは結局、
「定数倍」
しか表現できない。つまりそのベクトルが、どう倍率で増減したかの表現しかできない。
これがいわゆるスカラー倍である。
つまり同じ方向に進むケースにしか使えない。
だから、合計３つの数字では足りない。
方角・方向を変換させるような表現には、４つの数字が必要である。
単純に移動元と移動先の座標が要る、というだけじゃなく、
例えば1時の方向を向いてるベクトルを2時の方向に向かせるためには
xとyを入れ替えるような「転置」操作が必要で、
1時の座標・ベクトルのxとyに
それぞれ別の数字を作用として与えればそれは実現するからだ。
このような操作はxとyの比率を変える。
定数倍＝スカラー倍は、xとyの比率を保存したままスケーリングするが、このxとyの比率を変えるためには、xとyにそれぞれ別の数字を掛け算しないといけない。
原理的に、
ある二次元ベクトルを
別の方角を向かせるには４つの数字が必要なのである。
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“４”の魔力
それは、比例であり、線形性であり、線形代数であり、行列であり、ベクトルである。
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実際、あるベクトルをあるベクトルに移動させるにあたり、
ベクトルではなく、その空間自体を変形させているのが線形変換であり、行列である。
そして、ここでこんな発想が出てくる。
「行列という名の変換操作を、別の数値を使って、性質表現できないか」。
要するに、行列というのは、ぱっと見、訳がわからない。
だから、その数字を使って、ぱっとその性質について、大枠でも良いからつかめるとありがたい。
もっと言ってしまうと、
あるベクトルを、
別のベクトルにシフトさせる際、
全く同じ状態で動かないもの＝行列・線形変換を「０」とする。
そして、派手に動いたものを、「大きな数字」で評価する。
ここまでわかれば、
なぜ行列式の計算で、「０」の場合は、
“潰れる”
と言われるかがわかる。２次元座標軸が全体が１次元のようになる、線になる、圧縮して潰れてしまう。
結論、行列式は面積なのだが、面積０ということは、「点」か「線」である。
行列式は、面積的に、行列というものを捉えて評価する。
面積の計算をする際、
ベクトルを使って計算するなら、
そのベクトル２つが直角の関係にあればありがたい。
直角のベクトルを使った面積計算ほど簡単なものはない。
それはただの「いわゆる面積計算」の発想法で捉えることができる。
ところが、ベクトル２本が直角に交わってるケースは稀で、斜交してることが多い。
斜交しているものの面積＝平行四辺形を計算する場合、角度も考慮しないといけない。
この際、発想法として、
・直角（90度） ＝簡単
・89度に交わるベクトル ＝ほぼ直角
・45度に交わるベクトル ＝典型的な斜交
・0度に重なるベクトル ＝線
と考えることができる。
ここにヒントがある。
あるベクトルとあるベクトルの関係が直角でない場合、そのベクトルが作る「平行四辺形」の面積は、直角の場合と比べて微小な差分がある。
単純に「89度の関係」なら、1度の部分に該当する「x×y成分」が差引されていると考えて良い。
ここまでわかると、
行列式が、なぜ、「対角成分ー非対角成分」で求められるのかがわかる。
行列式（determinant）とは言っても、結局、数学は所詮、数値である。
数学は数値だ。
行列式は何をやっているのか？
行列そのものの数字・与えられた数字を料理して、何か別の数字を抜き出して、その性質を評価しているに過ぎない。
方向に幅が出ると、
それは方向というより、面積となる。
あるベクトルとベクトルが近いほど面積が小さく、
あるベクトルとベクトルが遠いほど面積が大きいという捉え方ができる。
面積＝方向がはっきりしない
というイメージも持っておくと良いと思う。
実際、
解析学において確率は「面積」として表現される。
確率とは面積である。
ちなみに、行列の「大きさ」みたいなものを与えられた数字を加工し別の数字を抜き出して評価をしようと思えば、単純に行列の数字そのものが大きければ大きい、小さければ小さいとすれば良いとわかるが、座標軸において、第一象限（+,+）、第二章限（-,+）、第三章限（-,-）、第四章限（+,-）があることからもわかる通り、ベクトルにはマイナスの方向がある。
このマイナスの方向というのは、統計学で分散計算をする際に「２乗」を使ってマイナスの符号を消すという数学民お決まりの鉄板パターンがあるが、実はあれが使われているのが行列の「ノルム」だとお分かりだろうか。
ノルムの計算式を見ればわかるだろう。あれは二乗してルートにしてる。
二乗してルートするという意味ない作業に思えるものをやってる場合、大体、マイナスの符号を消したいのである。
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説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。