大学受験までに出てくる数学は200年前の数学です。
大学入試に出てくる数学は200年前の数学。つまり、200年前のトップ＝今の高校生トップな訳。今の普通の日本人は1600〜1700年代の頭脳。
具体的には19世紀ぐらいまでの数学。
直近100年ぐらいの数学、つまり20世紀の数学とはどういう世界でしょうか。それらをちょっと覗いてみましょう。
まず、はじめに全体像を示します。
多項式 ↓ イデアル ↓ 閉集合 ↓ 既約成分 ↓ 素イデアル ↓ Spec(A)
整数を思い出しましよう。整数は素数で分解できます。
12=2^2・3
同じように、多項式やイデアルも分解できます。ここでキーワードになるのが「素イデアル」です。
- 整数 → 素数
- 多項式 → 素イデアル
- 図形 → 既約成分
そして、代数幾何の観点から非常に興味深いのが、
図形の構造 = イデアルの分解構造
だということです。
x^2ーy^2＝（x-y）（x+y）
ということは、1つの図形が二つの図形の合体になっている、ということなのです。
直線
x-y=0
はこれ以上分解できません。これは図形としても分解できない。既約なのです。
（x-y）というイデアルを考えると、(x-y)g(x,y)の形の多項式は全部。つまり全ての交代式がここに入る。（x-y）は、図形で言うと直線（x=y）を指しています。
つまり、
交代式
↓
必ず x=y で0
↓
対角線の図形を含む
というわけです。
因数分解 ↓ 図形の分解 ↓ 既約成分 ↓ 素イデアル
ここで驚くべき対応があって、既約図形は素イデアルなのです。
fg=0
が成り立つならばどちらかが0なわけです。
この対応を極端に押し進めると、
「図形を最初から素イデアルで作ればいい」
という発想になります。
それがSpec（A）であり、ここでAは環を示します。Spec（A）はAの素イデアルの集合です。
Spec(A) の点は
- 普通の点
- 直線
- 曲線
- 図形の基本成分
などが全部混ざっています。
Spec（A）の点は素イデアルです。
点 = 素イデアル
普通の幾何では、「点」からスタートします。しかし代数幾何では、点に該当するのは「消える関数の集合」として表し、これがイデアルと対応します。
点
＋
部分図形
＋
既約成分
が全て同じレベルで扱われます。
この方法だと
- 整数問題
- 図形
- 多項式
が同じ枠組みになります。
ちなみに数論幾何の場合は、
整数 ↓ 素数 ↓ 幾何
整数環のspecを取ることで素数が点になるのです。
代数幾何では、局所を把握する方法が
環 A ↓ Spec(A) ↓ 各点 P ↓ 局所環 A_P
となります。
空間は局所環の集合として捉えられるのです。
グロタンディークはここでさらに進めます。空間を点、局所環の組として作る。
これがスキームです。
代数幾何の核心は空間を点で作るのではなく関数の局所構造で作るという発想です。
代数幾何における局所化とは簡単にいうと「ある多項式を分母にして割れるようにする」という操作です。分母にするということは、０ではないということ。
多項式を分母にする ↓ その多項式が0でない領域
空間を調べるとき、微分幾何では接空間や局所座標でやっている。
実はこの局所化という操作は、
- 微分幾何（接空間）
- 代数幾何（局所環）
- 数論（p進）
全部で同じ役割を持っています。
まとめると、
多項式 ↓ 環 ↓ イデアル ↓ 素イデアル ↓ Spec(A) ↓ 局所化 ↓ 局所環 ↓ 空間
となります。
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SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。