空間にベクトル場を置くと、そこには流れが生まれます。例えば山の地形に雨が降ると、水は谷に集まり、鞍部で分かれ、頂点から流れ落ちます。

そのとき局所では

・極大点（山頂）
・極小点（谷）
・鞍点

が現れます。

この局所構造だけを数えると、実は大域的な構造が分かる場合があります。

有名なのが ポアンカレ・ホップ定理で、

「ベクトル場の特異点の指数の総和 = オイラー標数」

という関係があります。

つまり

局所の流れのパターン
↓
特異点の種類
↓
全体のトポロジー

が分かる。

これが
局所 → 大域
の典型例です。

ここでは

微分
ベクトル場
曲率

が道具になります。

 

局所微分構造
↓
ベクトル場
↓
曲率
↓
大域構造

 

微分幾何ではベクトル場や曲率で空間を見る。代数幾何では全く違う方法を使います。空間を関数の集合で読む。空間は、その上の関数環で完全に決まる。

空間の穴の数を数える際、代数幾何にはリーマンロッホがあります。ベズーの定理も有名です。

現代の代数幾何の中心はグロタンディークのスキームです。

これは

空間 = 環のスペクトル

という考えです。

つまり空間そのものを代数で作る。

ここまで行くと

空間
数論
幾何

が統一されます。

 

曲線では、

曲率
↓
位相
↓
関数空間

が全部同じ数になります。これはリーマン・ロッホやホッジ理論で説明されます。グロタンディークはこれを極端に推し進めて空間 = 環のスペクトルにしました。

ここからさらに発想を進めると、そもそも「点」を主役にしなくていい
ことに気づきます。点の代わりに素イデアルを点とみなす。

 

• 対称部分・交代部分
• 可換環
• イデアル
• 代数幾何

は、実際には次の一本の流れに入っています。

 

多項式
↓
対称性（群作用）
↓
不変多項式
↓
イデアル
↓
可換環
↓
代数幾何

 

対称性を持つ多項式は少数の生成元で作れる。ここで「生成」という概念が出てきます。数学では「生成される集合」を扱う道具があります。それがイデアルです。

なぜイデアルが重要なのか？解集合はイデアルで決まる。これがヒルベルトの零点定理です。

 

多項式
↓
イデアル
↓
解集合

になります。

つまり、多項式全体は可換環であり、この中のイデアルを調べると図形がわかるわけです。これが代数幾何の基本構造です。

 

 

面白いことに代数幾何でも

「局所 → 大域」

が現れます。

例えば層（sheaf）という概念です。

局所的な関数
↓
貼り合わせ
↓
大域構造

です。

つまり微分幾何と同じ構造が出てきます。

 

方程式
↓
関数環
↓
代数
↓
不変量

＝＝＝

＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

   

"make you feel, make you think."

 

SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)

新たなるハイクラスエリート層はここから生まれる          




Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。） 

説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。