東大・京大・東科大・一橋大を目指す理系受験生のための数学

問題文
↓
[第1層：論理化]
何を示す？
∀ / ∃ / 最大最小 / 個数 / 等式 / 不等式
↓
[第2層：対象化]
数 / 式 / 関数 / 集合 / 図形 / 数列 / 確率
↓
[第3層：構造抽出]
対称性 / 次数 / 線形性 / 単調性 / 凸性 / 周期性 / 不変量
↓
[第4層：障害特定]
変数が多い
次数が高い
条件が絡む
離散的
図形的
↓
[第5層：射影・圧縮]
変数消去
対称変数化
座標化
場合分け
差分化
比率化
固定
↓
[第6層：正規化]
因数分解
平方完成
部分分数
標準形
一次化
既知の関数形へ
↓
[第7層：局所ソルバー]
方程式
微分
判別式
整数論
確率計算
幾何計算
↓
[第8層：論理回収]
必要十分性
場合漏れ
定義域
等号成立
∀ / ∃ の回収
↓
答案

数学の問題を前に、どう対峙するか？

たとえば問題が、

x,y,z > 0
xyz = 1
ある不等式を証明せよ

だったとしても、そのまま扱わない。

第1層では「∀x,y,z」
第2層では「制約付き連続変数」
第3層では「対称性」
第4層では「3変数が邪魔」
第5層では「対称量へ圧縮」
第6層では「1変数関数・二次式などへ正規化」

というふうに、元問題とは別の内部表現へ段階的に変換していく。

究極的には

問題 P
↓ T
論理表現
↓ S
構造表現
↓ P
低次元表現
↓ N
標準形
↓ E
解

浅い教え方（青チャのような受験参考書方式）なら・・・

問題
├ 三角関数なら…
├ 整数なら…
├ 確率なら…
├ 軌跡なら…
├ 数列なら…
├ 円なら…
├ 接線なら…
├ 漸化式なら…
……

と横に巨大化する。
これが受験参考書方式です。浅層・超広幅ネットワーク。

さらに圧縮できないか？

たとえば複雑な曲線 f(x) があっても、

入力 x

↓

単純な部品を大量に反応させる

↓

その反応を足し合わせる

↓

f(x)

で作れてしまう。

むしろこれを、

入試問題 P
↓
─────────────────
たった1種類の中間層
─────────────────
φ1(P)
φ2(P)
φ3(P)
……
φN(P)
─────────────────
↓
それらを合成
↓
解法

にできないか。

たとえば、

入力：問題
↓
────────────────
第1層：基本演算器
────────────────
差和積比
固定消去分割対称化
符号次数境界極値
否定対偶量化置換
────────────────
↓
第2層：組合せ
────────────────
φ_i と φ_j を合成
φ_i の出力を φ_j に入れる
複数特徴を同時に満たす形を探す
────────────────
↓
標準形・証明・解

というように。

例えば

x+y=10 のとき xy の最大値を求めよ。

これを中間層に一斉に通す。

φ1 = 和を見る

φ2 = 差を見る

φ3 = 積を見る

φ4 = 平方を見る

φ5 = 対称性を見る

φ6 = 固定量を見る

φ7 = 境界を見る

……

すると、

和固定

対称

積を最大化

差

平方

などが反応する。

そして出力側で、

(x-y)^2 >= 0

↓

(x+y)^2 >= 4xy

↓

100 >= 4xy

↓

xy <= 25

が出てくる。

ここで重要なのは、「この問題なら相加相乗平均」という解法ラベルを持っていないことです。

中間層にはもっと原始的な部品しかない。

整数問題用解法

確率問題用解法

図形問題用解法

数列問題用解法

を並べるのではない。

もっと下まで掘って、

分ける

結ぶ

固定する

動かす

差を取る

消す

比較する

のような領域非依存の演算子を探す。

そして問題内のあらゆる対象にそれを作用させ

より、「第一原理」「本質」に立ち返って考えてみる

大人になって、判別式を暗記していても使えません。

軸判定もそうです。

たとえば、

「価格と数量」

の関係を古典的な経済学的構図で見ると、対称的な二次関数かもしれません。しかし、そういう綺麗な構図というのは、現実のビジネスシーンではあまり存在しません。

「値段を上げすぎても売れない」

「値段を下げても売り上げがそんなに増えない」

ということはよくあります。

とはいえ、非線形は非線形のまま。

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たしか一橋在学中の方は、公認会計士受験を目指している途中に当サイトにアクセスしてくれていました。

京大、東科大はまだ未確認です。

高学歴は就職戦線では強いものの、コモディティのリスクがある。

ましてや、ホワイトカラーショックもある。

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＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

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Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。）

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