君を数学の天才へと目覚めさせる体系。
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実数 × 等式
典型：
∃x∈R : F(a,x)=0
意味は、
F(a,x)がxを動かしたとき0を取るか？
です。
つまり、
0 ∈ Range_x F(a,x)
と同じ。
これが非常に重要です。
二次式なら、
F=x^2+ax+1
なので、上に開く放物線。
0を取る条件は、
min F <= 0
です。
平方完成すると、
min F = 1-a^2/4
だから、
1-a^2/4<=0
となる。
判別式を使っても同じ。
つまり、
判別式と最大最小は本質的には同じ存在判定を別表現でやっている。
F(x)=0 の実数解存在
0がFの値域に入る
だからです。
ここは非常に統一感があります。
この象限で使う基本操作
- 直接解く
- 因数分解
- 平方完成
- 判別式
- 単調性
- 連続性
- 中間値
- グラフの交点
全部、
0が値域に入るか調べる
ための手段です。
実数 × 不等式
今度は、
∃x∈R : F(a,x)>=0
です。
これは、
Fがどこかで0以上になるか？
だから、
max_x F(a,x) >= 0
と同値です。
反対に、
∀x F(a,x)>=0
なら、
min_x F(a,x) >= 0
です。
ここで一気に、
というルールが出ます。
例えば、
∃x : -x^2+ax+1 >=0
なら、
最大値を調べればよい。
一方、
∀x : x^2+ax+1 >=0
なら、
最小値を調べればよい。
最大最小を使う理由が量化記号から生成されているわけです。
整数 × 等式
次は、
∃x∈Z : F(a,x)=0
です。
実数の場合とは世界が変わる。
例えば、
∃n∈Z : n(n+1)=a
を考える。
実数解が存在するだけなら、
n^2+n-a=0
の判別式
1+4a >=0
でよい。
でも整数解が欲しい。
だからさらに、
1+4a
が奇数の完全平方数
でなければならない。
つまり整数問題では、
という二段階になることが多い。
ここから、
- 因数分解
- 約数
- 素因数分解
- 整除性
- 偶奇
- mod
- 完全平方
- 評価による有限候補化
が出てくる。
全部、
連続的には存在する候補の中から、離散格子上の候補を抽出する
ための操作と理解できる。
整数 × 不等式
例えば、
∃n∈Z : 10<n^2<20
なら、
実数としては、
sqrt(10)<|n|<sqrt(20)
まで落とせる。
あとは整数点だけ調べる。
つまり、
です。
整数問題で「評価」が非常に重要なのはこれ。
整数問題の基本戦略は、
無限個の整数候補を有限個にする
こと。
この意味で、
因数分解も強い。
例えば、
xy=12
なら、
x,y∈Z
だから、
xは12の約数に限定される。
一瞬で無限候補が有限候補になります。
すると整数のmodの位置づけも明確になる
「ここでmod 7を考えます」
という謎テクニック。
modの本質は、
Z
という無限集合を、
Z/mZ
という有限集合へ写すことです。
例えばmod 3なら、
の3ケースになる。
つまりmodとは、
無限の整数問題を有限状態問題へ射影する操作
です。
だから整数問題において、
は全然別物ではない。
全部、
候補を有限化する
という同じ上位目的を持つ。
違うのは有限化の仕方です。
ここで「因数分解」の正体も整理できる
因数分解を単なる計算技術として置かない。
例えば、
xy=0
なら、
x=0 ∨ y=0
です。
つまり、
積という一つの条件を、有限個の論理分岐に変えている。
だから因数分解は、
という、
連続的な式を有限個の枝へ分解する操作
でもある。
整数問題では、
AB=N
ならA,BはNの約数。
つまり、
因数分解 → 有限候補化
になる。
同じ技術が、実数と整数で違う役割を果たしている。
対称式 x+y=s, xy=p はどこに入るか
これは最終的な消去ではなく、圧縮です。
例えばx,yが対称にしか現れないなら、
(x,y)
という2自由度を、
(s,p)=(x+y,xy)
に置き換える。
そして重要なのが、
任意のs,pに対応する実数x,yが存在するわけではないこと。
x,yは、
t^2-st+p=0
の2根なので、
実数x,yが存在する条件は、
s^2-4p>=0
です。
つまり、
です。
これ、かなり美しい。
判別式が「x,yを消して、s,pだけの存在条件にする装置」になっている。
あなたが以前から気にしていた、
「なぜ対称式のあとに判別式が付いてくるのか」
の答えもこれです。
s,p に圧縮した瞬間、
そのs,pから元の実数x,yへ戻れるのか？
という逆像の存在問題が生じる。
その存在条件が、
s^2-4p>=0
です。
すると「変数を消す」は実は二段階ある
ここは重要です。
A. 圧縮
(x,y,z)
を、
(u,v)
にする。
まだ変数は残っているが自由度が減る。
例：
x,y → s=x+y,p=xy- 座標 → 距離
- ベクトル → 内積・長さ
- 数列 → 差分
- 関数 → 導関数
B. 完全消去
最終的に、
∃x F(a,x)
からxを消して、
G(a)
だけにする。
この二つは区別した方がいい。
以前「微分も変数削減」「対称式も変数削減」と全部一緒にすると汚くなった理由はこれです。
圧縮と消去は別操作です。
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(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。