理工系のための特異値分解 | 西園寺総合商社 +6σ【SGT＆BDジャパン】in 東京

特異値分解（SVD）は多くの応用があります。以下はその主な用途です：

次元削減: SVDはデータの次元削減に使用されます。高次元のデータを低次元の空間に射影することで、データの特徴をよりわかりやすく捉えることができます。この技術は、主成分分析（PCA）や特徴抽出などのアプローチに利用されます。
ノイズ除去: データに含まれるノイズを除去するために、SVDは有効です。特異値の小さな成分を切り捨てることで、データの本質的な構造を保ちながらノイズを除去することができます。
画像圧縮: SVDは画像圧縮にも使用されます。特異値の大きな成分を保持し、特異値の小さな成分を削除することで、画像を効果的に圧縮することができます。
レコメンデーションシステム: SVDはレコメンデーションシステムで広く利用されています。ユーザーとアイテムの関係を理解し、ユーザーに個別に適したアイテムを推薦するために使用されます。
自然言語処理: テキスト解析や自然言語処理において、SVDは文書の意味を理解し、文書間の関係を分析するために利用されます。LSA（Latent Semantic Analysis）などの手法で使用されます。
統計モデリング: 統計モデリングにおいて、SVDは変数間の相関を理解し、共通の要因を抽出するために使用されます。

これらは特異値分解の主な応用ですが、実際にはさまざまな分野で使用されています。データ解析、機械学習、画像処理、音声処理、情報検索など、幅広い分野で特異値分解が有用性を発揮しています。

特異値分解（SVD）の計算手法を日常的な例えで説明します。

例え話：データの整理

あなたが引っ越しをするために、大量の荷物を整理しなければならないとしましょう。この荷物はすべて段ボール箱に詰められています。各箱には、本、服、キッチン用品など、さまざまなものがランダムに詰められています。

ステップ1：荷物をカテゴリー別に分ける（V^T）

まず最初に、すべての段ボールを開けて、荷物をカテゴリー別に分けることにします。本は本、服は服、キッチン用品はキッチン用品といった具合です。これが、行列 $V^{T}$ の役割です。元のデータを、新しい「カテゴリー」（次元）に分けて整理するプロセスです。

ステップ2：各カテゴリーの重要度を評価する（Σ）

次に、それぞれのカテゴリーの中で、どれが最も重要かを評価します。例えば、頻繁に使うキッチン用品は重要度が高く、本棚の奥にしまっておく古い雑誌は重要度が低いかもしれません。この重要度の評価が、行列 $Σ$ です。各カテゴリーの中で、どの項目がどれだけ重要かを示す「スケール（特異値）」です。

ステップ3：新しい箱にパッキングする（U）

最後に、重要度に基づいて、荷物を新しい段ボール箱に効率よく詰め直します。頻繁に使うものは取り出しやすい場所に、あまり使わないものは奥にしまいます。この新しい段ボール箱の配置が、行列 $U$ です。新しい基準に基づいて、データを再配置するプロセスです。

結論

このように、特異値分解はデータを整理して新しい形に再配置するプロセスです。以下の3つのステップに分けて考えると理解しやすいです：

元のデータを新しいカテゴリーに分ける（V^T）: データの回転。
各カテゴリーの重要度を評価する（Σ）: データのスケーリング。
新しい基準に基づいて再配置する（U）: データの再回転。

この方法で、元の複雑なデータ構造を理解しやすくし、必要に応じてデータを圧縮したり、重要な情報を抽出したりすることができます。

友人の好みと映画鑑賞履歴

あなたは映画のリコメンデーションシステムを構築しています。友人A、B、Cの3人が過去に観た映画を考えてみましょう。

友人の映画の評価行列 : それぞれの友人が映画を観た回数を映画ごとに表にまとめます。この表を行列 $A$ とします。例えば、の第1列が友人A、第2列が友人B、第3列が友人Cで、各行が映画を表します。セルの値は、その映画をその友人が観た回数です。

	友人A	友人B	友人C
映画1	3	0	2
映画2	1	2	0
映画3	0	1	3

友人の好み行列 : この表を転置することで、各映画ごとに各友人の評価が分かります。これが行列です。各列が映画を表し、各行が友人を表します。セルの値は、その友人がその映画を観た回数です。

	映画1	映画2	映画3
友人A	3	1	0
友人B	0	2	1
友人C	2	0	3

友人の好みの評価と映画の評価の関係 : これらの行列をかけ合わせることで、友人の好みと映画の評価の関係を表す行列と、映画の評価と友人の好みの関係を表す行列を得ることができます。

とをかけ合わせる必要がある理由は次のようになります：

情報の相互補完: はユーザーが映画に与えた評価を表し、は映画ごとのユーザーの評価を表します。これらをかけ合わせることで、ユーザーの評価と映画の特性の間の関係が明らかになります。例えば、ある映画が高評価を得ている場合、それが好みのジャンルや監督に関連しているかもしれません。
特異値分解の準備: 特異値分解では、との積を計算してからそれぞれの固有値分解を行います。これにより、特異値と特異ベクトルが得られ、それを利用して SVD を実行します。
効率的な計算: とをかけ合わせることで得られる行列は、通常、元の行列よりも小さくなります。これにより、特異値分解の計算が効率的になり、コンピューターが処理するのに適しています。

つまり、とをかけ合わせることで、ユーザーの評価と映画の特性の関係を明らかにし、特異値分解の準備を整え、効率的な計算を実現することができます。

転置行列を掛け算することにより、異なる特性や属性を持つデータ間の関係性を明らかにすることができます。

「評価された映画」
「人別の評価の姿勢」

を掛け合わせると映画同士の類似性や観客の嗜好に関する情報が抽出されます。

まとめ

この例え話では、友人の映画鑑賞履歴を行列で表し、その転置行列を通じて友人の好みや映画の評価を理解しました。特異値分解は、これらの行列から映画の評価や友人の好みを数値化し、映画のリコメンデーションシステムを構築するための強力なツールです。

実際の計算

特異値分解の実際の計算は、数値的に安定したアルゴリズム（例えば、QRアルゴリズムやJacobi法など）を使用します。これらのアルゴリズムは、MATLABやNumPy（Pythonのライブラリ）などのソフトウェアで利用可能です。

Pythonを使った実装例

固有値分解（Eigenvalue Decomposition）と特異値分解（Singular Value Decomposition）の主な違いは次の通りです：

適用可能な行列の種類:
- 固有値分解は、正方行列（行列）にのみ適用されます。具体的には、対称行列やエルミート行列などが該当します。
- 特異値分解は、任意の行列（行列）に適用されます。つまり、正方行列でなくても使用できます。
出力の性質:
- 固有値分解の結果は、固有値とそれに対応する固有ベクトルの形式で得られます。
- 特異値分解の結果は、特異値とそれに対応する特異ベクトルの形式で得られます。
対象となる変換:
- 固有値分解は、正方行列に対する線形変換を分解します。具体的には、固有ベクトルは変換されたベクトルの方向を表し、固有値はそのスケール（拡大・縮小）を表します。
- 特異値分解は、任意の行列に対する線形変換を分解します。特異ベクトルは行列 $A$ による変換されたベクトルの方向を表し、特異値はそのスケールを表します。
一意性:
- 固有値分解は一意ですが、特異値分解は一意でない場合があります。特異値分解においては、特異値が同じである特異ベクトルの順序を入れ替えても解は変わりません。

これらの違いにより、固有値分解と特異値分解は異なる種類の行列に対して使用され、異なる目的に役立ちます。固有値分解は対称行列やエルミート行列などの固有ベクトル分解に適しており、特異値分解は一般的な行列の分解に使われます。

エルミート行列

エルミート行列（Hermitian Matrix）は、数学や線形代数で重要な概念です。エルミート行列は複素数の行列であり、その転置行列の随伴行列（エルミート共役）が元の行列と一致する性質を持っています。

エルミート行列に対して、その転置行列を求め、その複素共役をとった行列が元の行列と等しい場合、つまり次の条件を満たすとき、行列はエルミート行列であると言います：

ここで、はの複素共役（各要素の複素共役を取った行列）、つまり行列の要素を複素共役（実部を変えずに虚部の符号を反転）して得られる行列です。

エルミート行列は実数の対称行列に対応する概念であり、複素数における対称性の拡張と考えることができます。エルミート行列は多くの性質を持ち、その固有値は実数であり、固有ベクトルは直交することが保証されます。これらの性質は量子力学や信号処理などの分野で広く使用されます。

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＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

"make you feel, make you think."

SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)

「人生を変える」にフォーカスしたブランド

Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。）

説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。