フーリエ変換とは、ある関数を「波の重ね合わせ」として表す方法である。
たとえば、時間とともに変化する音や信号を、いろんな周波数の「純粋な波」に分解して見ることができる。
この変換は、「時間の世界」から「周波数の世界」への変換である。
ここで、フーリエ変換をもっと深く見ると、
それは「ある種類の対象」と「それに対応する別の種類の対象」の間の変換になっている。
この対応は、どんな対象にも共通するような非常に一般的な枠組みで説明できる。
その枠組みが「ポントリャーギン双対性（Pontryagin duality）」である。
ポントリャーギン双対性とは、次のような考え方である。
まず、足し算ができるような対象（たとえば、実数、整数、円周など）を考える。
これを「アーベル群」と呼ぶ（アーベルとは人の名前）。
すると、その対象の性質を調べるために、「その対象を使って作れる単純な波」をすべて集めたものを考えることができる。
この「すべての波の集まり」もまた、足し算ができる対象になる。
たとえば、実数（時間）は、いろんな周波数の波を使って表現できる。
この「周波数」の集まりもまた実数である。
整数（たとえば離散的な信号）であれば、それを使って作れる波の集まりは「円周（0〜1の間の角度のようなもの）」になる。
このように、「ある対象G」と「その対象から作れるすべての波の集まりG^（Gハット）」は、お互いに対応し合っていて、
Gの性質をG^を通じて理解したり、逆にG^の性質をGを通じて理解できる。
この対応関係が「双対性（dual）」と呼ばれる。
ポントリャーギン双対性は、特別な種類の対象（局所コンパクトアーベル群）に対して、
「Gという対象には、必ずそれに対応するG^がある。さらにG^にもまたGが対応する」ということを保証する定理である。
フーリエ変換はまさにこの「GからG^への対応関係」を使っていて、
もとの関数を、G^の上に乗った別の形の関数へと変換する。
そしてその変換は、逆変換によって元に戻すことができる。
だから、フーリエ変換は単に「波に分解する技術」なのではなく、
より本質的には「GとG^の間にある数学的な双対性」に基づく変換である。
これが、「フーリエ変換の本質はポントリャーギン双対性である」という意味である。
| 分野 | 双対性の例 |
|---|---|
| 関数・信号処理 | フーリエ変換（ポントリャーギン双対性） |
| 線形代数 | ベクトル空間とその双対空間 |
| 幾何学 | 点と直線の双対性（射影幾何） |
| 関数解析 | ゲルファント双対性、リースの表現定理 |
| 位相幾何 | アレクサンドロフ双対性、セル構造の双対 |
| 圏論 | 双対圏、随伴、ホモ双対性 |
| 代数幾何 | 射影空間とその双対空間、ミラー対称性 |
| 物理学 | 電磁双対性、弦理論のS-双対、T-双対、ミラー対称性 |
関数解析とフーリエ解析の深遠 〜線形非線形を架橋し概観する現代数理技術〜
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(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。