まとめ
- 合成関数：ある関数が別の関数の値を入力に持つが、最終的に数値→数値の関係を持つ。
- 媒介変数：1つのパラメータに依存して、変数の関係を間接的に表現する。こちらも数値→数値の関係。
- 変分法：関数そのものを変数として扱い、関数を最適化する（関数→数値の関係）。
変分法は「関数そのものを扱う」という点で合成関数や媒介変数と根本的に異なり、複雑なシステムや物理現象を最適化するときに使われます。
変分法とは？
変分法は、「最適な形」や「最適な経路」を見つけるための数学的な方法です。普通の数学では、ある数を最大にしたり、最小にしたりする問題（例えば、2次関数の頂点を求める問題など）を扱いますが、変分法は「関数」や「曲線」の形そのものを最適化します。
例：最短経路を見つける
変分法のイメージをつかむために、簡単な例を考えてみましょう。
例えば、A地点とB地点を結ぶ最短の道を考えると、普通に直線を引けばいいとわかりますね。これは「どんな経路が一番短いか」を最適化する問題です。
しかし、もしA地点とB地点の間に障害物があったり、重力が働いていたりすると、単純な直線では最短にならないかもしれません。その場合、最も効率的な「カーブ」を見つけることが必要になります。この「効率的なカーブを見つける」ための方法が変分法です。
変分法の基本的な考え方
- ある曲線の形を考える
- 例えば、A地点からB地点に至る曲線（道）を想像します。
- その曲線をちょっとだけ変える
- 曲線をほんの少しだけ変化させたときに、何が起こるかを見ます。
- 最も良い変化を見つける
- その変化によって、目的（例えば、距離が最短になるとか、エネルギーが最小になるとか）が改善されるかどうかを確認します。変わらない、または悪くなるポイントが「最適な形」になります。
実際にどう使う？
例えば、光がどのように進むかを考えるとき、光は「一番早く進める経路」を選びます。水や空気の中で光が曲がるのは、変分法の原理によって、光が「最短時間で進める道」を選んでいるからです。これをフェルマーの原理と言います。
数式的には？
変分法の具体的な数式は、オイラー＝ラグランジュ方程式というものを使って解きますが、簡単に言うと、関数の形が「どこで一番良いか」を探すために、関数をちょっとだけ動かして最適な場所を見つける方法です。普通の微分が「数」の増減を見るのに対して、変分法は「関数全体」を最適化するための道具です。
高校での応用例
高校の物理で習う「最小作用の原理」や「光の経路」など、自然界の中で物理現象が最適な状態を選ぶときに使われることが多いです。
まとめ
変分法は、ある状況で「一番良い形」や「一番効率の良い経路」を見つけるための方法です。最短距離や最小エネルギーなど、何かを「最適化」する問題に使われます。
普通の関数が数値をインプットして数値をアウトプットするのに対して、変分法ではインプットが「関数」で、アウトプットは「数値」になります。
結論：微分と変分法の違い
- 微分は、関数のある1点での変化を調べて、最大値や最小値を求める手法。
- 変分法は、関数全体の形を調整して、最適な形や経路を見つける手法。
微分が1つの点での挙動を調べるのに対し、変分法は関数全体の形を最適化するために使われる点が本質的な違いです。
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(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。