比較（短く）

「部品を全部見たい」目的なら パターン3（Operator-expanded） が最も明示的。係数 $b_{m} (τ), a_{k} (τ)$ や次数 $m, n_{k}$ が明確にフィールドとして存在する。
「解の形・主要項を見たい」なら パターン1（Explicit Poly–Exp） が分かりやすい。
「局所的に多様な振る舞い（項ごとに指数や多項式を混ぜたい）」なら パターン2（Mixed Term Spectra）。
「離散漸化式や生成関数での代数解析が主」なら パターン4（Generating Function）。

オススメ（現場で使うなら）

まずはパターン3（作用素拡張型）を基準テンプレにして、解析／数値化／推定のために以下のワークフローを採用することを勧める：

モデル化フェーズ：方程式形をパターン3で書く。
構造抽出：右辺の $a_k,n_k$ を IOPT（パターン1）で仮定して主要項を特定。
同定・推定：データがあれば係数関数 $b_m(τ),a_k(τ)$ を最小二乗／ベイズで推定。
検証：生成関数（パターン4）や差分表現で安定性・外挿をチェック。必要ならパターン2でローカル補正。

この流れだと「部品が全部見える」「動的方程式を扱える」「解の形も説明できる」という三拍子を達成できます。

＝＝＝

"make you feel, make you think."

SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)

新たなるハイクラスエリート層はここから生まれる

Lose Yourself , Change Yourself.（変えることのできるものについて、それを変えるだけの勇気を我らに与えたまえ。変えることのできないものについては、それを受け入れられる冷静さを与えたまえ。そして、変えることのできるものと、変えることのできないものとを、見分ける知恵を与えたまえ。）

説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。