五次方程式はどうして解けない?
五次方程式で解けない部分群が現れることがわかる理由は、ガロア理論がガロア群という数学的対象を使って方程式の解の性質を研究するからです。具体的には、五次方程式のガロア群が可解群ではないことが示されます。 以下に、五次方程式が解けないことがわかる主要なステップを示します: ガロア群の構造を考える: 五次方程式を考える際には、方程式の係数(定数)を含む体(係数体)を基本体として、方程式の解を含む体(解体)を作る必要があります。このとき、解体の元々の体におけるすべての解を含む最小の体を、分離拡大と呼ばれます。 ガロア群の定義: ガロア群は、分離拡大に対する自己同型(体の同一の構造を保つ写像)の集合です。ガロア群は、解体の拡大の中で、解がどのように入れ替わるか、どのような対称性を持つかを調べるために使われます。 可解群と非可解群: ガロア理論において、「可解群」という特別な群の概念が重 (さらに…)