部分を関数で近似し、つなぎ合わせる方法として最も一般的な手法は、多項式近似を利用する方法です。これは、近似したい関数を低次の多項式で近似し、部分ごとに多項式をつなぎ合わせることで、元の関数を近似する方法です。具体的には、近似する区間を小さな区間に分割し、各区間で多項式近似を行い、その多項式をつなぎ合わせます。この手法は、数値解析やグラフィックス分野などでよく使われています。
部分的に分割した関数をつなぎ合わせると、高次の項によって形が崩れる可能性があります。これは、高次の項が低次の項に比べて急速に増加するため、つなぎ目の周辺で大きなジャンプや変化が生じることが原因です。
この問題を回避するために、よく使われる手法に「スプライン補間」というものがあります。スプライン補間は、分割された部分ごとに低次の多項式関数（通常は2次関数または3次関数）を用いて近似する方法です。そして、隣り合う部分の関数値と、一階微分と二階微分の値がつなぎ目で一致するように、部分的に近似された関数をつなぎ合わせます。これによって、つなぎ目の周辺での急激な変化を抑え、なめらかにつながった曲線を得ることができます。
スプライン補間は、実際には多項式関数を使用するため、ある程度の次数が存在しますが、これを適切に選ぶことで、形の崩れを抑えつつ、部分的に分割した関数をなめらかにつなぎ合わせることができます。
部分的に分割したグラフを近似するためには、各部分で適切な関数を選び、それらをつなぎ合わせる必要があります。具体的には、以下のような手順を踏むことが一般的です。
- グラフを適当な点で分割します。このとき、分割する点の選び方は、グラフの形状や近似したい精度によって異なります。
- 各部分について、適切な関数を選択します。例えば、直線、二次関数、三次関数など、グラフの形状に応じて適切な次数の多項式を選択します。
- 各部分で選択した関数の係数を求めます。これには、分割点での値や傾き、連続性や滑らかさの条件を使うことができます。
- 各部分で求めた係数を使って、各部分の関数をつなぎ合わせます。つなぎ合わせるときには、各部分で求めた係数を用いて、隣接する部分の関数の値や傾きが一致するように調整する必要があります。
- つなぎ合わせた関数が、元のグラフを適切に近似しているかを確認します。必要に応じて、分割点の位置や選択した関数の次数を変更し、再度近似を行います。
ただし、適切な関数を選択することや、係数を求めることなどは、数学的にも技術的にも難しい作業です。また、部分的に分割したグラフが、大域的に滑らかである必要があるなど、条件もあります。
スプライン補間では、まず与えられたデータ点の間で、滑らかな曲線を作るために、隣り合うデータ点間を結ぶ「セグメント」と呼ばれる線分を決定します。そして、各セグメントにおける曲線を表す関数を求めます。
一般的に、スプライン補間においては、各セグメントで同じ次数の多項式を使用することが一般的です。例えば、3次スプライン補間を行う場合、各セグメントで3次の多項式を使用します。
次に、各セグメントにおける関数の係数を求める必要があります。これには、各データ点で関数の値が一致すること、および関数の1次、2次、および3次の微分が隣接するセグメントの関数の1次、2次、および3次の微分に等しいことを保証する条件が使用されます。
これらの条件を満たす係数を計算することにより、各セグメントの関数を求めることができます。そして、隣接するセグメントの関数をつなぎ合わせることにより、全体的なスプライン補間関数を得ることができます。
スプライン補間において、近似関数として用いるスプライン関数は、通常は3次の多項式関数で表されます。スプライン補間の基本的な考え方は、与えられたデータ点を通過するような、滑らかな曲線を見つけることです。
以下に、例として4つのデータ点 $(x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ における3次スプライン補間の数式を示します。ここで、各区間 $[x_i, x_{i+1}]$ において、3次多項式関数を用いて近似します。
各区間 $i$ において、次のような多項式を用いることを考えます。
Si(x)=ai+bi(x−xi)+ci(x−xi)2+di(x−xi)3
ここで、$a_i, b_i, c_i, d_i$ はそれぞれの区間における定数です。これらの定数は、データ点に対する条件を満たすように決定されます。
例えば、$S(x)$ が与えられたデータ点を通過することを保証するためには、以下の条件を課すことができます。
- $S_i(x_i) = y_i$
- $S_i(x_{i+1}) = y_{i+1}$
- $S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1})$
- $S_i”(x_{i+1}) = S_{i+1}”(x_{i+1})$
これらの条件から、各区間における $a_i, b_i, c_i, d_i$ を求めることができます。そして、各区間の多項式関数 $S_i(x)$ をつなぎ合わせた全体の関数 $S(x)$ を得ることができます。
このようにして得られるスプライン関数は、与えられたデータ点を滑らかにつなぐ曲線を表現することができ、さまざまな応用に利用されます。
スプライン補間とラグランジュ補間は、どちらも与えられたデータ点を通る関数を近似するために用いられますが、その手法が異なります。
ラグランジュ補間は、与えられたデータ点を通る $n$ 次多項式を求めます。この多項式は、$n$ 個のデータ点のうち、$n$ 個の異なる多項式の和として表されます。つまり、各データ点について $n$ 次多項式を作成し、それらを足し合わせたものが求める多項式となります。
一方、スプライン補間は、データ点をつなぐ折れ線（スプライン）の形状を決定することで関数を近似します。スプラインは、区間ごとに低次の多項式で近似することで得られます。通常、各区間で3次の多項式を用いる方法が用いられます。また、スプライン補間では、データ点の振る舞いに応じて、各区間での多項式の係数が変化するため、スムーズな曲線を得ることができます。
つまり、ラグランジュ補間は、データ点を通る多項式を求める方法であり、スプライン補間は、データ点をつなぐスプラインの形状を決めることで関数を近似する方法です。
部分に分割した関数を足し合わせると、関数の形が崩れることはありません。スプライン補間において、各区間での近似関数の次数は低く抑えられるため、全体としての関数の形状が崩れることはありません。また、スプライン補間によって得られた関数は、部分ごとに滑らかな曲線を描くため、実用的なアプリケーションにおいても広く使用されています。
スプライン補間では、部分関数を滑らかに繋ぎ合わせることで、全体として形が崩れることを防ぎます。具体的には、各区間での近似関数を「ノット」と呼ばれる特定の点で結合し、連続性や微分可能性の条件を満たすように、ノットにおける関数値や導関数の値を制約条件として用いて解を求めます。そのため、部分関数同士の接点においても、連続性や微分可能性が保たれます。このように、スプライン補間では滑らかな関数を構築することで、全体として形が崩れることを防ぐことができます。
スプライン関数は、各部分で次数が低く、繋ぎ目で滑らかにつながるように設計された関数です。
具体的には、与えられたデータ点を通る低次の関数（スプライン関数の基本関数と呼ばれる）を複数用意し、それらを適切に組み合わせて全体の関数を構成します。このとき、各部分における基本関数の係数を決めることによって、スプライン関数全体を決定します。
スプライン関数は、次数が低くなるため、ラグランジュ補間や多項式補間と比べて、データ点間での振動が少なく、滑らかな曲線が得られます。また、次数が変化するため、部分的な近似関数の影響が大きくなるように設計されているため、形が崩れることが少なく、より精度の高い近似が可能です。
例えば、複数の線を結合して滑らかな曲線を形成したい場合を考えてみましょう。線が境界でつながっているだけだと、曲線は鋭角的に折れ曲がってしまいます。そこで、複数の線をつなぎ合わせるための方法として、スプライン関数が考えられました。
スプライン関数は、複数の小さな曲線（または直線）をつなぎ合わせたもので、それぞれの小さな曲線において、その端点における傾きや曲率を制御することで、全体として滑らかで綺麗な曲線を形成することができます。
スプライン関数は、通常、3次の多項式で表現されます。つまり、小さな曲線の関数の形状は、2次までの項（傾き、曲率）を表す項を含む3次の多項式関数で表されます。そして、小さな曲線をつなぎ合わせることで、滑らかで綺麗な曲線を表すために、各小さな曲線での関数の値、傾き、および曲率を共有するようにします。
このように、スプライン関数は、複数の小さな部分をつなぎ合わせることによって、滑らかで綺麗な曲線を表現することができます。
部分ごとに次数の低い関数を用いて近似し、それらの関数を継ぎ合わせることで、全体として滑らかな関数を得ることができます。例えば、スプライン補間では、隣り合う部分ごとに2次関数または3次関数で近似し、その接点で1次または2次の微分の値が一致するように継ぎ合わせます。これにより、近似関数同士をつなぐ際に関数の形が大きく変化することがなく、より滑らかな全体の関数を得ることができます。
分割した各部分でスプライン関数を使って近似することで、全体の関数を綺麗に表現することができます。例えば、山の形を表現する場合を考えてみましょう。山の形を1つの関数で表現するのは難しいですが、複数の山頂がある場合には、各山頂の周りをスプライン関数で近似し、それらを繋ぎ合わせることで全体の山の形を表現することができます。
具体的には、各山頂の周りの部分に対して、それぞれスプライン関数を用いて近似します。この時、各部分でのスプライン関数の次数は低く、周りの部分に影響を与えないようにします。そして、各部分でのスプライン関数をつなぎ合わせることで、全体の山の形を表現します。
このようにスプライン補間を用いることで、分割した各部分の関数のつなぎ目での滑らかさを保ちつつ、全体の形を表現することができます。
まず、各部分関数の範囲を $[x_i, x_{i+1}]$ とします。そして、各範囲の端点での値を $f(x_i)$ などとします。このとき、部分関数同士をつなぎ合わせるためには、各範囲での値と傾きが滑らかにつながるように、次のような条件を課します。
- 各部分関数の範囲で、関数値が一致する。つまり、$S_i(x_i) = f(x_i)$ かつ $S_i(x_{i+1}) = f(x_{i+1})$ が成り立つようにします。
- 各範囲の端点で、関数の傾きが一致する。つまり、$S’i(x{i+1}) = S’{i+1}(x{i+1})$ が成り立つようにします。
- 範囲の端点を除いた内部で、関数の曲率が一致する。つまり、$S”i(x{i+1}) = S”{i+1}(x{i+1})$ が成り立つようにします。
ここで、$S_i(x)$ は範囲 $[x_i, x_{i+1}]$ でのスプライン関数を表し、$S’_i(x)$ は $S_i(x)$ の導関数、$S”_i(x)$ は $S_i(x)$ の2階導関数を表します。これらの条件を満たすスプライン関数 $S(x)$ は、次のように求めることができます。
- 各範囲での関数値と傾きから、各範囲内での3次多項式を求めます。
- 各範囲の端点での傾きが一致するように、各範囲の内部での傾きを調整します。
- 範囲の端点を除いた内部での曲率が一致するように、各範囲の内部での2階導関数を調整します。
これにより、各範囲での関数値、傾き、曲率が滑らかにつながるスプライン関数 $S(x)$ が求められます。そして、$S(x)$ が各部分関数をつなぎ合わせた全体としての関数となります。
具体的には、スプライン補間では、隣り合う部分の間でつなぎ目の点で、1階微分（接線の傾き）と2階微分（曲率）が一致するような条件を課します。この条件によって、つなぎ目の点での接線や曲率が滑らかにつながり、全体的な形状が自然に滑らかな曲線となります。
数式的に表現すると、ある区間$[x_{i}, x_{i+1}]$におけるスプライン関数$S_{i}(x)$は、以下のようになります。
$S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+c_{i}(x-x_{i})^{2}+d_{i}(x-x_{i})^{3}$
ここで、$a_{i}$、$b_{i}$、$c_{i}$、$d_{i}$は、それぞれの区間$[x_{i}, x_{i+1}]$での係数であり、部分ごとに異なる値を取ります。
また、各区間において、スプライン関数の1階微分、2階微分がつなぎ目の点で一致するように条件を課すことで、滑らかな曲線を得ます。これらの条件は、以下のように表現されます。
$S_{i-1}(x_{i})=S_{i}(x_{i})$
$S_{i-1}^{‘}(x_{i})=S_{i}^{‘}(x_{i})$
$S_{i-1}^{”}(x_{i})=S_{i}^{”}(x_{i})$
つまり、連続な区間で接線の傾きや曲率がつながり、全体的な形状が滑らかな曲線となるように、部分ごとに関数をつなぎ合わせているわけです。
スプライン補間の場合、部分的に近似した関数を接続する際に、各区間の多項式の次数を調整してつなぎ合わせます。具体的には、各区間の多項式の次数を揃えるために、接続部分で各多項式の一次導関数と二次導関数が一致するようにします。これにより、区間の端点で接続部分を滑らかに繋げることができ、全体としても滑らかな曲線を表現することができます。つまり、スプライン補間では、区間ごとに異なる多項式を使いつつ、それらの接続部分で微分の連続性を保ってつなぎ合わせることで、より自然な曲線を表現することができます。
＝＝＝
"make you feel, make you think."
SGT&BD
(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。