プロマックス回転は斜交回転（oblique rotation）であり、因子（または軸）を斜めに回転させて因子間の相関を許容する手法です。これにより、因子間が直交（直角）しないようになり、因子が近づいたり、一本化されたりすることがあります。しかし、固有ベクトルとの関係についてもう少し詳細に説明します。
固有ベクトルと回転
固有ベクトルは、主成分分析（PCA）や因子分析の初期段階で得られるもので、データの共分散行列または相関行列を基にして計算されます。これらの固有ベクトルは、データの最大の分散を示す方向を表し、各因子（または主成分）がどのようにデータを表現するかを示します。
プロマックス回転の効果
プロマックス回転は、回転前の因子（これらは固有ベクトルに対応するもの）の方向を変更するものですが、その目的は因子の解釈をより容易にすることです。具体的には、次のような点があります。
- 軸の斜交: プロマックス回転によって、因子軸（固有ベクトル）は直交から斜交に変更されます。この場合、因子同士が相関し、解釈しやすくなる場合があります。
- 一本化: あなたの言う「一本化」というのは、因子間の相関が高くなり、因子同士がより強く関連付けられることを意味しています。これは、直交回転（バリマックス）とは異なり、因子間に相関を許すことによって、データの解釈が現実的に適用しやすくなる場合があります。
固有ベクトルとの関係
プロマックス回転後に得られる因子は、回転前の固有ベクトルに基づいていますが、回転によってその方向や構造が変化します。ですので、プロマックス回転で得られる因子は元々の固有ベクトルから派生したものであり、固有ベクトルの「変形」や「再構成」とも言えます
プロマックス回転は、因子分析や主成分分析において、既に得られた固有ベクトル（因子）を斜めに回転させることで、因子間の相関を許容し、解釈をしやすくする手法です。回転前の固有ベクトルが基盤となり、その方向や構造が変更されますが、回転後の因子は固有ベクトルの一形態に過ぎません。ですので、プロマックス回転自体が固有ベクトルを「見出す」ものではなく、固有ベクトルの解釈をより容易にする方法だと言えます。
プロマックス（Promax）は、バリマックスと同様に因子回転法の一つであり、主に因子分析で使用されますが、バリマックスとの違いは、回転方法が**斜め回転（oblique rotation）である点です。バリマックスは直交回転（orthogonal rotation）**で、因子間の相関をゼロに保つのに対し、プロマックスは因子間の相関を許容します。
ただし、プロマックスも固有ベクトルを直接「見出す」ための方法ではありません。固有ベクトルを見出すのは、主成分分析（PCA）や因子分析の最初のステップであり、その後に回転を行います。回転の目的は、既に得られた因子（固有ベクトル）をより解釈しやすくすることです。
固有ベクトルとプロマックス
- 固有ベクトルは、PCAや因子分析を実行する際に、データの共分散行列や相関行列の固有値問題を解くことで得られます。このステップで得られた因子（固有ベクトル）は、回転（バリマックスやプロマックス）とは独立して計算されます。
- プロマックス回転は、因子の相関を許容した上で、因子の荷重行列を回転させますが、この回転は因子の解釈を容易にするためのものです。回転後に因子間の相関が生じる可能性があります。
プロマックス回転も、固有ベクトルを「見出す」ものではなく、因子分析で得られた固有ベクトル（因子）を回転させて解釈しやすくするための方法です。固有ベクトルは回転前に得られるものであり、プロマックス回転はその後のステップです。
バリマックス回転と直交因子
バリマックス回転は、元々の因子（または主成分）の方向を回転させて、各因子ができるだけ異なる（直交する）特徴を持つようにします。これにより、回転後の因子は、**他の因子との相関がない（直交する）**状態になります。直交する因子は、解釈がしやすく、独立した情報を表現するため、独立性が高いという点で有用です。
行列の対角化
バリマックス回転を行う過程は、行列の対角化に似ています。具体的には、以下のように考えることができます。
- 因子の荷重行列: 因子分析においては、変数と因子との関係を示す「因子荷重行列」があります。この行列には、各変数が各因子にどれくらい寄与しているかが表されています。
- 対角化: バリマックス回転は、因子荷重行列を回転させることによって、各因子ができるだけ少数の変数に強く関連し、他の変数に弱く関連するようにします。この過程では、荷重行列が直交する因子（独立な因子）を示す形に変化します。言い換えれば、回転後の因子荷重行列は、対角化された行列に近い形になります。
数学的視点
行列の対角化の概念は、元の行列を特定の変換（例えば固有ベクトルを基にした変換）で「直交的」に変形し、対角成分に情報を集約することです。バリマックス回転も似たような効果を持ち、因子荷重行列を回転させて、直交した因子を得ることで、各因子に関連する変数が明確に分かれます。
バリマックス回転は、元の因子荷重行列を回転させて、直交した因子（独立した因子）を得るための手法であり、これを行列の対角化に似た考え方で理解することができます。回転後の因子は、他の因子と相関せず、独立した特徴を持つため、解釈がしやすくなるという利点があります。
バリマックスは「variance + max」（分散の最大化）という命名なので、「後方二回宙返り一回ひねり」のようなものであるが、プロマックス回転で使われているプロクラステス回転はギリシャ神話から来ている。
アテナイの王であるテーセウスが退治した盗賊のプロクルーステース（プロクラステス）は、旅人を宿泊させた際に、そのベッドから身体がはみ出せば切り落としてしまい、足りなければ身体を無理やり引っ張って殺していた。
このギリシャ神話が西欧人には長く広く浸透しており、無理やり型にはめることの比喩として使われてきた。プロクラステス回転も、目標行列に近づくように数理的に回転させる方法であり、いかにも「無理やり目標に当てはめる」印象を抱いたのである。最小二乗法のような数理的な計算方法を表現した名前とは無縁の文学的な名前であった。
https://service.nikkei-r.co.jp/glossary/promax-rotation
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