ポアソン分布が平均回数（または発生率）$\lambda$ だけを使って計算できるのは、この分布が一定の時間や空間において独立に発生する希少事象を記述するために設計されているためです。以下に、その理由を数式の背景とともに詳しく説明します。

1. ポアソン分布の成り立ち

ポアソン分布は、ある時間や空間の単位で「ごく短い間隔で1回の事象が発生する確率」がほぼ一定で、事象が独立に発生するような場合を想定しています。たとえば、「1分間に1回起こる」という発生率が一定である現象を多くの区間に分割して考えると、次のような特性が導かれます：

• ある短い時間・空間で事象が発生する確率は一定。
• 非常に短い間隔の中で2回以上発生する確率は無視できるほど小さい。
• それぞれの時間・空間区間での発生は互いに独立。

 

どういうことか？

ポアソン分布が「平均発生回数（λ）」だけで成り立つ理由を、より直感的に説明します。

ポアソン分布のイメージ

ポアソン分布は、「一定の時間や空間で、ある出来事がどれくらいの頻度で起きるか」を表す分布です。例えば、ある交差点で1時間あたり何台の車が通るか、あるウェブサイトに1分間に何人のユーザーが訪れるかなど、ランダムな頻度で発生する現象を扱います。

なぜ「平均発生回数」だけでいいのか？

ポアソン分布では、出来事がどのタイミングで起きるかはわからないけれど、1時間に平均して何回くらい起きるかはわかるとします。この「1時間に平均して何回くらい」がλです。例えば、「1分あたり平均2回の訪問」という情報があれば、それを元に、実際に訪問が「0回」「1回」「2回」「3回」…といった具合にどれくらいの確率で起こるかを予測することができるのです。

平均だけでできる理由

ポアソン分布は、ある時間や空間で起こる出来事が「独立して」「ランダム」に発生する状況を想定しています。このとき、平均回数だけで十分にその発生頻度の全体的なパターンを捉えられる性質があるからです。

たとえば、「1時間に平均5台の車が通る交差点」なら、実際には4台や6台など、ばらつきはあるものの、「平均5台」がわかれば全体の発生パターンが予測できます。ポアソン分布は、このように平均回数から、「ばらつきのある現実的な結果」を確率的に表現する仕組みです。

ポアソン分布の例

• 例1：救急外来で、1時間に平均3人の患者が来る場合、1時間に何人来るかは「平均3人」だけで計算できます。実際には、1人だけの日もあれば、5人のこともあるけど、全体のパターンを平均で把握できるのです。
• 例2：図書館で、1分間に平均2人が本を借りるとすると、1分あたりの来館者数は0人だったり、3人だったりしますが、「1分に平均2人」という情報で、来館者の頻度全体を予測できます。

結論

ポアソン分布は、「独立したランダムな出来事が、一定の平均回数で発生する」ような状況に適した分布です。このとき、平均発生回数（λ）がわかれば、どのくらいの頻度で何回発生するかを予測できるという性質を持っているため、$\lambda$だけで成り立つ分布になっているのです。

 

なぜ分布までわかるのだろう？

これは、ポアソン過程において、時間あたりの事象の発生回数が常にλであることを反映しています。発生回数の分布は平均λで決まっており、事象の発生が時間単位での平均回数に完全に依存しているため、ポアソン分布を使うときはλだけで事象の回数をモデル化できます。

ポアソン過程の特性として、事象が発生する確率が独立で、各事象が均等に発生するため、事象の発生回数は時間の長さに比例します。具体的には、もし平均的に単位時間あたりにλ回の事象が発生する場合、$t$時間の間で発生する事象の回数kは、ポアソン分布によって決まります。

ポアソン分布のもう一つの特徴は、分散が期待値と同じであることです。これは、発生回数のばらつき（分散）が、発生回数の平均（λ）に比例することを意味しています。

 

ポアソン分布で分散や分布の形が「平均発生回数（$\lambda$）」だけで計算できる理由を、もう少し詳しく見てみましょう。

1. ポアソン分布の背景

ポアソン分布は「特定の時間や空間でランダムに発生する出来事」をモデル化します。これらの出来事が発生する確率は一定ですが、それぞれの発生は独立しています。例えば、1時間に平均3人の患者が来るといった状況があれば、ポアソン分布を使って「実際には1時間で0人、1人、2人…と何人来るか」の確率を計算できます。

2. ポアソン分布の分散が平均に等しくなる理由

ポアソン分布では分散も平均と同じλに等しくなります。これは、ポアソン分布が「稀な出来事」をモデル化することから生じる特性です。分散が平均に等しくなることは、以下の理由で自然に導かれます。

直感的な説明

ポアソン分布では、出来事が発生する間隔がランダムで予測できないため、ある程度のばらつきが生まれます。しかし、長い目で見ると、発生回数は平均λに集まる性質があります。このため、平均λからのズレ（分散）が、ちょうどそのλに比例して決まるのです。

数理的な理由

ポアソン分布の分散が平均に等しくなるのは、確率変数の独立性とメモリーレス性によるものです。ポアソン分布では出来事が「連続的に発生する確率」に基づきますが、それぞれの発生が互いに影響しない（独立している）ため、分散が平均に一致するという性質を持つことになります。

3. 分布の形がλだけで決まる理由

ポアソン分布の形（「0回発生する確率」「1回発生する確率」など）が$\lambda$だけで決まるのも、次のような仕組みからです：

• λが大きいと発生頻度が増える
  λが大きくなると、平均の発生回数が増えるため、実際の発生回数もその周辺に分布します。このとき、0回や1回の発生の確率は低くなり、中心付近の確率が高くなります。
• λが小さいとまばらになる
  λが小さい（例えばλ=1）と、発生頻度が低いため、0回や1回などの少ない回数が発生する確率が高くなります。このため、分布の形が平均発生回数λによって変わることになります。

結論

ポアソン分布では、平均回数λだけで分散や分布の形が決まります。これは、発生の独立性と発生の頻度がλに従うという特性があるためです。

 

他の分布との違い

ポアソン分布で「分散が平均と等しくなる」性質が成り立つのに対し、他の分布（例えば正規分布）ではそうならない理由は、ポアソン分布が「離散的で稀に発生する事象」に適したモデルであるのに対して、正規分布など他の分布が異なる特徴を持っているためです。それぞれの分布の背後にあるモデルの構造や前提が異なるため、平均と分散の関係も異なるのです。

1. ポアソン分布と「稀な事象」

ポアソン分布は、特定の時間や空間で「独立したランダムな事象が、稀に一定の割合で発生する状況」をモデル化しています。この分布では、次のような条件が成立しています。

• 独立性：各発生イベントは他のイベントに依存せず独立している。
• 発生頻度が一定：単位時間あたりの発生回数の平均（$\lambda$）が一定。

このような条件のもとで発生する事象をモデル化すると、平均と分散が同じになる性質が生じます。ポアソン分布では、事象の発生が「一定の割合でランダムに」起こるため、発生数のばらつきの幅が発生数の平均に比例することになります。このため、平均と分散が同一値λになるという特性が成り立ちます。

2. 正規分布とその特徴

一方で、正規分布は連続分布で、通常は「たくさんの小さな要因が合わさって生じる連続的な値のばらつき」をモデル化するために使われます。正規分布の特徴としては：

• 平均と分散が独立に設定可能：正規分布では、平均$\mu$と分散σ2σ2が別々のパラメータとして独立に存在します。
• シンメトリックで連続：データが左右対称に分布し、理論的には無限の範囲にわたる連続的な値を取ります。

正規分布の場合、平均の大きさと分散の大きさは直接的に関連しないので、例えば平均が大きくても分散を小さく設定することができます。また、正規分布のようにたくさんの要因が重なり合って生じる状況では、観測された変動（ばらつき）が、単に発生回数に依存するわけではなく、多様な要因によって決まるため、平均と分散の間に直接的な関係はありません。

3. 他の分布との比較

他の確率分布も、それぞれ特定の状況に応じた性質を持ち、平均と分散の関係は一様ではありません。

• 二項分布：試行回数が増えるにつれて分散が変化し、平均に比例しては増えません。分散は「成功確率」に依存して決まります。
• 幾何分布：成功が出るまでの試行回数の分布ですが、平均と分散の関係は成功確率に依存しており、ポアソン分布のように分散が平均と等しくはなりません。

結論

ポアソン分布の「分散＝平均」の性質は、事象が独立してランダムに発生し、その発生頻度が一定というモデルに基づいているためです。他の分布では、発生する事象のモデルや前提が異なるため、平均と分散が別々に決まり、「分散＝平均」の関係が成り立たないのです。

 

 

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＠西園寺貴文（憧れはゴルゴ13）#+6σの男

   

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説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。