カルマンフィルターは、状態空間モデルに対して、観測値と状態の推定値を同時に最適化する手法です。状態空間モデルは、現在の状態が過去の状態とランダムな誤差項の和で表されると仮定するモデルです。
カルマンフィルターの数式は以下の通りです。
- 予測ステップ
x̂_t^- = F_t x̂_t-1^+ + G_t u_t P_t^- = F_t P_t-1^+ F_t^T + Q_t
ここで、x̂_t^- はt期における状態の事前予測値、P_t^- はt期における状態の事前誤差共分散行列、F_tは状態遷移行列、G_tは入力行列、u_tは入力ベクトル、Q_tは状態ノイズの共分散行列です。
事前誤差共分散行列（prior error covariance matrix）とは、カルマンフィルターなどの状態推定手法において、事前状態推定値の誤差のばらつきを表す共分散行列のことです。
状態推定手法では、現在の状態を推定するために、過去の状態観測値や制御入力値を利用します。この際、観測誤差やシステムノイズなどが含まれることにより、推定値に誤差が生じることがあります。事前誤差共分散行列は、この事前推定値の誤差のばらつきを表現する指標であり、これを利用して推定値の信頼性を評価します。
事前誤差共分散行列は、カルマンフィルターにおいて、観測値と制御入力値を利用して、現在の状態推定値を算出する前の事前推定値を計算する際に使用されます。事前誤差共分散行列の値が大きいほど、事前推定値の信頼性が低いことを示します。また、事前誤差共分散行列は、フィードバック制御システムの安定性にも関係しており、不適切な設定がされると、推定誤差が大きくなり、制御系の安定性が損なわれることがあります。
- 更新ステップ
K_t = P_t^- H_t^T (H_t P_t^- H_t^T + R_t)^-1 x̂_t^+ = x̂_t^- + K_t (y_t – H_t x̂_t^-) P_t^+ = (I – K_t H_t) P_t^-
ここで、K_tはt期におけるカルマンゲイン、H_tは観測行列、y_tはt期における観測値、R_tは観測ノイズの共分散行列です。
- 初期化ステップ
x̂_0^+ = E(x_0) P_0^+ = Cov(x_0)
ここで、x̂_0^+は初期状態の事後推定値、P_0^+は初期状態の誤差共分散行列です。
以上が、カルマンフィルターの基本的な数式です。これらの式を反復的に実行することで、状態の推定値を更新し、より正確な予測を行うことができます。
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(Saionji General Trading & Business Development)
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