五次方程式で解けない部分群が現れることがわかる理由は、ガロア理論がガロア群という数学的対象を使って方程式の解の性質を研究するからです。具体的には、五次方程式のガロア群が可解群ではないことが示されます。
以下に、五次方程式が解けないことがわかる主要なステップを示します：
- ガロア群の構造を考える: 五次方程式を考える際には、方程式の係数（定数）を含む体（係数体）を基本体として、方程式の解を含む体（解体）を作る必要があります。このとき、解体の元々の体におけるすべての解を含む最小の体を、分離拡大と呼ばれます。
- ガロア群の定義: ガロア群は、分離拡大に対する自己同型（体の同一の構造を保つ写像）の集合です。ガロア群は、解体の拡大の中で、解がどのように入れ替わるか、どのような対称性を持つかを調べるために使われます。
- 可解群と非可解群: ガロア理論において、「可解群」という特別な群の概念が重要です。可解群とは、特定の条件を満たす群であり、そのガロア群が可解群である場合、対応する方程式が一般に解けることが分かります。一方、可解群でない場合は、方程式が一般に解けないことが示されます。
- 五次方程式のガロア群: 五次方程式のガロア群は、五次方程式の解の置換によって生成される群です。ガロア理論によって証明されていることは、五次方程式のガロア群が可解群でないことです。そのため、五次方程式が一般的に解けないことがわかります。
以上のステップによって、ガロア理論を用いて五次方程式が一般的に解けないことが示されます。この結果は、19世紀初頭に数学者ガロアによって発見され、代数方程式の解を求める問題について重要な成果をもたらしました。
5次方程式の一般解を求めることは「可解群」によって不可能であることが証明されています。つまり、一般の5次方程式に対して、古代ギリシャ時代からの代数学の基本的な操作（和・差・積・商・平方根）だけでは、その解を求めることはできないという結果です。
この事実は、19世紀にノルウェーの数学者ニルス・アーベルとフランスの数学者エヴァリスト・ガロアによって独立に証明されました。彼らの発見は、ガロア理論の重要な一部となりました。
ガロア理論によって5次方程式が解けないことがわかる要点は、5次方程式のガロア群が「可解群」でないということです。可解群とは、一般的な代数方程式に対してその解を求めることができる特別な群の性質を持つ群です。しかし、5次方程式のガロア群は可解群ではないことが証明されています。
可解群（Solvable Group）とは、群（Group）の一種で、特定の条件を満たす群のことを指します。群は集合と演算（通常は積）の組み合わせであり、以下の条件を満たす必要があります：
- 任意の2つの元（要素）の積もまた群の元である。
- 積に関して結合法則が成り立つ。
- 群内の任意の元に対して、逆元（その元と積を取った結果が単位元となる元）が存在する。
- 群内に単位元（積に対する単位元）が存在する。
可解群は、上記の群の条件に加えて、特定の性質を持つ群です。具体的には、次のような性質を持ちます：
- 可解群の正規部分群がまた可解群である。正規部分群とは、群の元を選び出す操作（通常は積の操作）に関して閉じた部分群のことを指します。
- 有限群の任意の部分群は可解群である。
可解群の名前の由来は、群の元の積を連続的に求めていく操作（可換群の場合）を連立方程式を解く手法に似ていることからきています。可解群に属する群は、代数学や数学の他の分野で重要な性質を持つ群として研究されています。
可解群が具体的にどのような群を指すのか、ここで一般的な例を挙げます。
- アーベル群（可換群）: 整数の加算や乗算、有理数や実数の加算など、積が可換（交換可能）な群はアーベル群であり、可解群の一つです。
- 次数が素数の巡回群: 素数の次数を持つ巡回群も可解群です。例えば、5次の巡回群は可解群です。
- 対称群（Symmetric Group）の一部: 可解群には対称群の中でも特定の部分群が含まれます。
このような群は、可解群の具体的な例ですが、他にも様々な可解群が存在します。
この結果により、一般の5次方程式の解を求めるためには、ガロア理論やそれよりも高度な数学的手法を用いる必要があることが分かります。つまり、5次方程式に対する解の一般公式が存在しないことが確認されているのです。
ガロア理論は、方程式の解に関する性質を研究する数学の理論です。特に代数方程式を考えます。代数方程式とは、変数がひとつ以上含まれる方程式で、その変数に関して次数が整数である多項式が与えられます。例えば、x^2 – 2x + 1 = 0や3x^3 + 2x^2 – 5 = 0などが代数方程式です。
ガロア理論では、与えられた方程式が解を持つかどうか、そして解がどのような条件のもとで存在するかを調べるために、体（フィールド）と呼ばれる数の集合を考えます。体は、四則演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）に関して閉じた集合で、例えば有理数や実数などが体の例です。
ガロア理論の重要な概念は、「ガロア拡大」と「ガロア群」です。
- ガロア拡大: 方程式の解を含む体を求めることを考えます。元々の体（係数体）を基本体とし、新しい数（解）を追加して得られる拡大体を考えます。
- ガロア群: ガロア拡大において、拡大体の中で解がどのように入れ替わるか、どのような対称性を持つかを調べるための数学的な対象です。ガロア群は、拡大体の元々の体での自己同型（写像の一種）の集合です。
さて、5次方程式に焦点を当ててみましょう。ガロア理論によると、5次方程式の一般解は、ガロア群が特定の条件を満たす「可解群」である必要があります。しかし、5次方程式の場合、そのガロア群は「可解群」ではないことが証明されています。
したがって、ガロア理論を用いると、5次方程式が一般には解けないことがわかります。この結果は、五次方程式の解の一般公式が存在しないことを示しています。
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